Se siamo in grado di associare un valore numerico (reale) a ciascuno dei possibili risultati di un esperimento aleatorio, resta definita una variabile casuale. Ad esempio una variabile casuale X potrebbe essere

X = valore che si presenta lanciando un dado

In questo caso X può assumere i valori 1, 2, 3, 4, 5, 6 ed assume ogni valore con la stessa probabilità. Oppure, riferendoci al lancio di una moneta, la variabile casuale Y potrebbe essere così definita

(anche in questo caso i valori sono assunti con la stessa probabilità). Chiameremo distribuzione di probabilità di una variabile casuale l'insieme dei valori possibili con i relativi valori di probabilità; tieni presente che la somma dei valori di probabilità deve sempre essere uguale a 1.

E' facile rappresentare con Derive le variabili casuali X e Y: la prima è

X := RANDOM(6)+1,

Y := RANDOM(2).

Ecco il codice per definire la variabile X e generare un vettore v i cui elementi si ottengono valutando 200 volte tale variabile:

Il vettore v definito alla riga #2 è costituito da 200 valori della variabile casuale X (perché i varia da 1 a 200 e per ogni valore di i viene valutata la variabile X); la riga #3 la ottieni semplificando la #2. Fai attenzione però a non semplificare l'assegnazione della riga #1 altrimenti ad X sarebbe assegnato un valore una volta per tutte e otterresti perciò un vettore v costituito da 200 valori tutti uguali. Non semplificando la #2 hai un'assegnazione differita e ogni valutazione di X produce un nuovo valore casuale tra 1 e 6.

Ora vogliamo confrontare la distribuzione delle probabilità con la distribuzione delle frequenze relative. Ecco il codice

Per capire il comando della riga #7, tieni presente che se fosse ad esempio n=1, il comando frequenza(1) potrebbe essere interpretato così: seleziona (select) gli elementi i tali che sia i=1, facendo variare i nel vettore v e poi conta (dim) gli elementi selezionati.

Tracciamo ora i grafici relativi alle righe #5 e #9, il primo in rosso, il secondo in azzurro

Come vedi la distribuzione delle frequenze relative è una discreta approssimazione della distribuzione di probabilità di X; aumentando il numero di valutazioni di X, passando ad esempio da 200 a 20000, otterrai una migliore approssimazione.

Per il momento le variabili casuali che abbiamo esaminato hanno una distribuzione di probabilità uniforme, cioè i valori possibili hanno tutti la stessa probabilità. Più interessante è considerare variabili casuali a distribuzione di probabilità non uniforme. L'esperimento aleatorio sia ad esempio questo: si lanciano tre monete e si conta il numero X di teste uscite. I valori possibili per la variabile X sono 0, 1, 2, 3; ma, attenzione, questa volta i valori di X non hanno la stessa probabilità. E' facile rendersi conto che la distribuzione di probabilità di X è questa

valore     probabilità
    0           1/8
    1           3/8
    2           3/8
    3           1/8

(ad esempio si ottiene il valore 1 nei tre casi TCC, CTC, CCT su 8 casi possibili). Per definire la variabile X con Derive dovremo scrivere un semplice programma (una funzione): genereremo un numero intero casuale i compreso tra 1 e 8 e metteremo in uscita

0  se  i=1,
1  se  2 i 4,
2  se  5 i 7,
3  se  i=8

In tal modo viene rispettata la distribuzione di probabilità di X. Ecco come digiterai il programma (opzione Crea - Definisci funzione)

Ed ecco il codice di Derive per generare un vettore v di 200 valutazioni di X

Osserva che la variabile i è dichiarata nell'intestazione della funzione X(i) in modo che Derive la consideri variabile locale ma non è un argomento che dovremo passare alla nostra funzione quando la utilizzeremo (infatti la variabile i è definita all'interno del programma).

Confrontiamo la distribuzione di probabilità della variabile X con la distribuzione delle frequenze relative dei dati del vettore v. Ecco il codice

Ed ecco i grafici relativi alle tabelle delle righe #5 e #9, rispettivamente in rosso e in azzurro

Qui vedi invece il solito grafico della distribuzione di probabilità assieme al grafico delle frequenze relative avendo impostato a 5000 il numero delle valutazioni di X. Come vedi i due grafici sono quasi sovrapponibili.