Vogliamo interpretare i termini dell'equazione come aree. Allora il termine x² rappresenta l'area di un quadrato di lato x e il termine px l'area di un rettangolo di dimensioni x e p (x>0); quest'ultimo rettangolo equivale a 4 rettangoli di dimensioni x e . Il primo membro dell'equazione è quindi rappresentabile come l'area del quadrato e dei quattro rettangoli che vedi in figura.

E' facile capire che potremo "completare" il nostro disegno in un quadrato aggiungendo quattro opportuni quadrati congruenti: ogni quadrato avrà il lato lungo .

L'area del quadrato più grande, cioè l'area del quadrato EFGH, è data da

cioè da

(nota che è proprio la misura del lato del quadrato EFGH). Affinché l'equazione sia soddisfatta tale area deve essere uguale a

Quindi

Abbiamo così ottenuto la soluzione x positiva dell'equazione iniziale.

Attività con Cabri

La figura seguente è una figura dinamica di Cabri: puoi trascinare il punto A o il punto B. Trascinando il punto B puoi modificare il coefficiente p dell'equazione (p positivo), trascinando A puoi variare la misura x del lato del quadrato. Nota che trascinando x, l'area del quadrato e dei quattro rettangoli varia con continuità da 0 a infinito. Ora, dato un certo valore q positivo, risolvere l'equazione

significa trascinare il punto A fino a quanto l'area non sia (approssimativamente) uguale a q. Puoi sempre trovare un valore x (positivo) tale che l'equazione sia soddisfatta. Ciò significa, per inciso, che un'equazione di questo tipo con p e q positivi ammette sempre soluzioni reali. Ad esempio nella situazione iniziale in figura ti rendi conto che la soluzione positiva dell'equazione

x²+4,58x=19,64