Ecco il codice di Derive

Come vedi, si tratta del grafico di una parabola per x minore o uguale a 1 e di una retta per x maggiore di 1. I due tratti sono, come sai, funzioni continue e anche il raccordo tra i due tratti è continuo, non ci sono salti. Verifichiamo analiticamente che nel punto di raccordo x=1 la funzione è continua

Abbiamo la verifica della continuità: il limite di f(x) per x che tende a 1 da sinistra è uguale al limite per x che tende a 1 da destra e tali limiti sono uguali a f(1). Per avere un'idea intuitiva della continuità (e un supporto visivo!) fai così:

• inserisci nella finestra grafica una slider bar per la variabile t con t che varia, diciamo, da -4 a 4;

• traccia il punto [t, f(t)];

• trascinando il cursore della slider bar vedrai che il punto [t, f(t)] si muove con continuità sul grafico, senza salti o interruzioni.

Ecco il codice di Derive

Fai attenzione, qui ci sono due comandi IF nidificati uno nell'altro. La struttura è questa:

Ciascuno dei tre tratti è una funzione continua; non rimane quindi che studiare la continuità nei punti di raccordo. Nel primo punto di raccordo, in x=2, si ha

Quindi la funzione non è continua in x=2 (il limite sinistro è diverso dal limite destro). Nel secondo punto di raccordo, in x=5, si ha

Se fai muovere un punto [t, f(t)] sul grafico, mediante una slider bar, come si è detto nell'esperimento precedente, noterai che fa un salto in x=2.

Occupiamoci ora della derivabilità. Ogni tratto è costituito da funzioni derivabili: dobbiamo esaminare i punti di raccordo. In x=2, la funzione non è continua e quindi non è derivabile. Studiamo la situazione in x=5 in cui la funzione è continua e quindi potrebbe essere derivabile

Quindi la funzione non è derivabile in x=5 (infatti non esiste il limite del rapporto incrementale: il limite sinistro è diverso dal limite destro).

Ora, per avere un'idea intuitiva della derivabilità, vogliamo tracciare la tangente al grafico di f(x) (vogliamo una tangente dinamica, pilotata attraverso una slider bar). Prima di tutto definiamo la funzione derivata g(x) di f(x) che sarà naturalmente una funzione definita a tratti

Nota che per x=2 e per x=5 alla funzione g(x) viene assegnato il valore "?"; ciò indica che g(x) non è definita per x=2 e x=5 ovvero che f(x) non è derivabile in x=2 e x=5. Scriviamo le coordinate di un generico punto [t, f(t)] del grafico di f(x) e l'equazione della tangente al grafico in tal punto

Non rimane che inserire nella finestra grafica una slider bar per la variabile t, ad esempio per t che varia da 2,1 a 8; poi tracceremo il grafico relativo alle righe #20 e #21. Trascinando il cursore vedremo la tangente muoversi con continuità sul grafico ma, attento, per t=5 noteremo un brusco cambiamento di direzione della tangente: in quel punto f(x) non è derivabile, il grafico non è liscio, c'è un punto angoloso. Nella figura seguente vedi la tangente per t di poco minore di 5 e per t di poco maggiore di 5.

Nella seguente figura dinamica di Cabri, la regione comune ai due quadrati è quella arancione. Tascinando il punto indicato vedi come varia la regione; si intuisce che la sua area è una funzione definita a tratti del lato EF.













Indichiamo con A(x) l'area della regione in funzione del lato x. Ragionando sulle figure a fianco ti rendi conto che si ha:






















L'intuizione geometrica (vedi figura dinamica) suggerisce che A(x) sia una funzione continua in tutto il suo dominio; definiamo la funzione con Derive. Ecco il diagramma ad albero che ci aiuta a scrivere il codice di Derive

Verifichiamo analiticamente che A(x) è continua nei punti di raccordo