Il disegno di Cabri mostra le sezioni di un cubo con piani perpendicolari a una diagonale interna. Tali sezioni variano con continuità passando da triangoli equilateri, a esagoni e di nuovo a triangoli equilateri, via via che il piano si muove parallelamente a se stesso.

L'idea che sta alla base della costruzione è quella di abbassare di 1 la dimensione di tutti gli oggetti geometrici che entrano in gioco: al cubo si sostituisce una sua rappresentazione nel piano (che conserva la lunghezza di segmenti tracciati sulle facce), al piano secante si sostituisce una retta secante (la retta per P che puoi trascinare). I 6 quadrati che vedi in figura costituiscono infatti un possibile sviluppo del cubo nel piano (piegando ad angolo retto i 6 quadrati ottieni un cubo).

La retta secante è parallela a una delle diagonali dei quadrati (e, muovendosi, si mantiene parallela a se stessa): la sua intersezione con i quadrati è costituita inizialmente da tre punti, poi da un serie di segmenti che sono prima solo verdi (e non connessi), poi verdi e rossi (e connessi), poi solo rossi (e di nuovo non connessi), e infine ancora tre punti. Tali segmenti costituiscono il contorno delle varie sezioni; tieni infatti presente che quando il cubo verrà assemblato nello spazio a partire dal suo sviluppo, tutti i segmenti saranno connessi per un vertice e il primo segmento si unirà con l'ultimo. Prova con un modello di cartoncino.

Esaminiamo meglio le sezioni, muovendo la retta secante da sinistra verso destra.

(a) La prima sezione si riduce evidentemente a un punto: la retta secante tocca 3 quadrati in un loro vertice (quando dallo sviluppo si passerà al cubo i tre vertici andranno a coincidere).

(b) Poi si hanno una serie di triangoli equilateri di perimetro e area crescente fino al triangolo di lato massimo pari a una diagonale esterna del cubo (la retta secante taglia 3 quadrati).

(c) Da questo punto in poi la retta interseca tutti e sei i quadrati e le sezioni sono degli esagoni equiangolari (angoli di 120°) con centro di simmetria. Quando la retta secante passa per i punti medi di lati dei 6 quadrati si ha evidentemente un esagono regolare. Tutti gli esagoni hanno lo stesso perimetro pari a tre volte la diagonale di un quadrato: basta osservare che la distanza tra i punti A e B nella figura di Cabri rimane costante. Tenendo presente che in una famiglia di esagoni isoperimetrici è l'esagono regolare la figura di area massima, segue che la sezione di area massima è proprio quella esagonale regolare. Puoi verificare le proprietà di perimetro e area degli esagoni osservando i valori forniti da Cabri.

(d) Quando la retta torna ad intersecare solo 3 dei 6 quadrati, si hanno di nuovo una serie di triangoli equilateri questa volta però di perimetro e area decrescenti. Osserva inoltre che i nuovi triangoli, rispetto ai precedenti, sono ruotati di 60° attorno al comune baricentro. Osserva in generale che ogni sezione compare due volte (anche quelle esagonali), la seconda volta ruotata di 60°.

(e) Si ha infine una sezione ridotta, di nuovo, a uno solo punto.

Come possiamo renderci conto che le sezioni esagonali sono tutte equiangolari? Ragioniamo così: quando il cubo viene assemblato nello spazio a partire dal suo sviluppo, entrano in gioco delle rotazioni dei quadrati tutte di 90°(i quadrati vengono "piegati"). L'assemblaggio è dunque perfettamente "simmetrico". Ne segue che anche i segmenti, quelli verdi e rossi, subiscono una stessa rotazione e dunque gli angoli della figura chiusa che viene a formarsi devono essere tutti uguali.