Osserva la prima delle fotografie precedenti: puoi distinguervi vari elementi rettilinei (le aste del cancello). Le altre fotografie sono trasformazioni dell'originale ottenute con uno dei tanti programmi per l'elaborazione di immagini digitali (come Photoshop, ad esempio). Muovendoti da sinistra a destra vedi trasformazioni per simmetria, per stiramento, per inclinazione, per rotazione, per ingrandimento in scala. Tutte queste trasformazioni mutano rette in rette, come puoi vedere. Solo l'ultima foto (quella in basso a destra) mostra una trasformazione non lineare, puoi notare infatti che ci sono elementi rettilinei dell'originale che vengono incurvati. Il nostro scopo è quello di studiare le trasformazioni lineari del piano e di determinarne la loro rappresentazione algebrica. Faremo uso di vettori e matrici cioè di strumenti algebrici di grande potenza e utilità. Gli elementi teorici fondamentali saranno forniti mentre si opera e si sperimenta con Derive.

Sul piano terminologico, indicheremo col termine trasformazione una corrispondenza biunivoca tra punti del piano o dello spazio. Le trasformazioni lineari del piano sono le trasformazioni che mutano rette in rette e fissano l'origine (cioè che hanno l'origine come punto unito). Noi però definiremo le trasformazioni lineari a partire dalle loro equazioni e poi mostreremo l'equivalenza delle due definizioni. Più in generale si chiamano trasformazioni affini le trasformazioni del piano che mutano rette in rette (senza necessariamente fissare l'origine).

Attività 1 - Le trasformazioni lineari del piano

Attività 2 - Proprietà delle trasformazioni lineari

Attività 3 - Isometrie lineari

Attività 4 - Similitudini lineari

Attività 5 - Altre trasformazioni lineari: stiramenti e scorrimenti

Attività 6 - Trasformazioni affini

Attività 7 - Isometrie e similitudini

Attività 8 - Prodotto di trasformazioni

Attività 9 - Trasformazioni inverse

Attività 10 - Autovettori e autovalori